Question

（2010•潍坊三模）在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，SD⊥平面ABCD，E为SC的中点，且AB=AD=l，SD=CD=2．
（1）若P为SD上的任意一点，能否在SB上找一点H，使得EH⊥BP？请说明理由；
（2）求直线SB与平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）当H为SB的中点时，EH⊥BP，根据中位线定理可知HE∥BC，根据线面垂直的性质可知SD⊥BC，取CD的中点M，连BM，根据勾股定理的逆定义可知BC⊥BD又BD∩SD=D，满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC⊥面SBD，从而EH⊥面SBD，可证得结论；
（2）以DA、DC、DS分别为x、y、z轴建立坐标系，求出向量

BS

、

BD

、

BE

，然后求出平面BDE的法向量为

n

=（x，y，z）根据cos＜

n

，

BS

＞=

BS • n

|BS| • |n|

可得直线SB与平面BDE所成角的正弦值．

解答：解：（1）当H为SB的中点时，EH⊥BP
∵H、E分别为SB、SC的中点∴HE∥BC
又SD⊥平面ABCD∴SD⊥BC，
由条件知，BD²=AB²+AD²=2
取CD的中点M，连BM，则四边形ABMD为矩形
∴BC²=CM²+BM²=2∴BC²+BD²=CD²
∴BC⊥BD又BD∩SD=D
∴BC⊥面SBD
∴EH⊥面SBD
∴在SB上存在一点H，使得EH⊥BP
（2）∵SD⊥平面ABCD∴SD⊥CD，SD⊥AD
又AB∥CD，∠DAB=90°∴AD⊥CD
以DA、DC、DS分别为x、y、z轴建立坐标系，则
D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），E（0，1，1）
∴

BS

=（-1，-1，2），

BD

=（-1，-1，0），

BE

=（-1，0，1）
设平面BDE的法向量为

n

=（x，y，z）则

BD • n =0 BE • n =0

即

-x-y=0 -x+z=0

取x=1，则y=-1，z=1则

n

=（1，-1，1）
则cos＜

n

，

BS

＞=

BS • n

|BS| • |n|

=

2

6 × 3

=

2

3

∴直线SB与平面BDE所成角的正弦值

2

3

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间向量的方法求线面所成角，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题．