Question

8．求f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值．

Answer 1

分析 令t=$\sqrt{1+{x}^{2}}$（t≥1），则x²=t²-1，则y=$\frac{{t}^{2}-1+a}{t}$=t+$\frac{a-1}{t}$，讨论当a-1≤0，当a-1≥1即a≥2，当a-1＜1即a＜2时，运用单调性和基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
令t=$\sqrt{1+{x}^{2}}$（t≥1），则x²=t²-1，
则y=$\frac{{t}^{2}-1+a}{t}$=t+$\frac{a-1}{t}$，
当a-1≤0，即a≤1时，函数y=t+$\frac{a-1}{t}$在[1，+∞）递增，
即有x=0时，取得最小值a；
当a-1＞0即a＞1时，若a-1≥1即a≥2，
由t+$\frac{a-1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{a-1}{t}}$=2$\sqrt{a-1}$，
函数y在[1，$\sqrt{a-1}$）递减，在（$\sqrt{a-1}$，+∞）递增，
即有t=$\sqrt{a-1}$处取得最小值2$\sqrt{a-1}$；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2时，函数y在[1，+∞）递增，
即有t=1即x=0处取得最小值a．
综上可得，当a＜2时，f（x）的最小值为a；
当a≥2时，f（x）的最小值为2$\sqrt{a-1}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和函数的单调性及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．