Question

如图,已知AD、BC、EF是一组平行线,截面ABE⊥EF,且AE+BE=BC=2AD=4,G为BC中点,二面角A-EF-C为θ.

(1)当θ=90°且AE=2时,证明BD⊥EG.

(2)(理)若θ=60°,BE=EF=,求二面角DBFC的大小.

(文)设AE=x,若sinθ=1(0＜x＜4),求棱锥F—BCD的体积V(x)的最大值.

Answer 1

答案：证明:(1)过点D作DH⊥EF,垂足为H.连结HB、GH.∵AD∥EH∥BG,且截面ABE⊥EF,∴AD=EH=BG=BE=2.∴四边形BGHE为菱形.又BE⊥EH,∴四边形BGHE为正方形.

∴EG⊥HB.又DH⊥EF,且θ=90°,∴DH⊥面BCFE.由三垂线定理得BD⊥EG.

(2)(理)∵截面AEB⊥EF,∴∠AEB即为二面角AEFC的平面角,即∠AEB=60°.∵BE=EF=,∴AE=.∴由余弦定理得AB²=.显然AE²=BE²+AB²,∴△ABE为直角三角形,即AB⊥BE.又AB⊥EF,∴AB⊥面BCFE.连结DG,则DG∥AB,∴DG⊥面CBEF.

作GM⊥BF,垂足为M,连结DM,则∠DMG为二面角DBFC的平面角.

∵BE=EF=,∴BF=.∵S_△BGF=BG·BE=BF·MG,∴GM=.∴在△DGM中,tan∠DMG=，即所求的二面角的大小为arctan.

(注:也可用空间向量求解,步骤略)

(文)∵截面AEB⊥EF,∴∠AEB即为二面角AEFC的平面角,即∠AEB=θ.又∵AD∥面BFC,

∴V(x)=V_A—BFC=S_△BFC·AEsinθ=··4·(4-x)·x(1-)=x(4-x)².

∴令V′(x)=(3x²-16x+16)=0,得x=.∵0＜x＜时,V′(x)＞0,＜x＜4时,V′(x)＜0,

∴x=时,V(x)有最大值,其值为.