Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，S_n=2a_n-2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∴a_n=2a_n-1，∴，
又∵a₁=2，∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴． …（5分）
（Ⅱ），
，
∴．
两式相减得：，
∴=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴． …（12分）
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求得数列的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判断，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．