Question

直线过点P（

4

3

，2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，点O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：
（1）△AOB的周长为12；
（2）△AOB的面积为6．若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：设直线的方程为

x

a

+

y

b

=1  （a＞0，b＞0），若满足（1）可得a+b+

a2+b2

=12，

4

3a

+

2

b

=1，联立可解ab，可得方程；若满足（2）可得ab=12，

4

3a

+

2

b

=1，
同样可得方程，它们公共的方程即为所求．

解答：解：设直线的方程为

x

a

+

y

b

=1  （a＞0，b＞0），
若满足条件（1）则可得a+b+

a2+b2

=12   ①，
再由直线过点P（

4

3

，2）可得

4

3a

+

2

b

=1   ②
由①②可解得

a=3 b=4

或

a= 12 5 b= 9 2

，
故所求直线的方程为：

x

4

+

y

3

=1或

5x

12

+

2x

9

=1，
化为一般式可得3x+4y-12=0或15x+8y-36=0；
若满足条件（2）则可得ab=12，

4

3a

+

2

b

=1，
消去b，并整理得a²-6a+8=0，
解得

a=4 b=3

或

a=2 b=6

，
所以所求直线的方程为

x

4

+

y

3

=1或

x

2

+

y

6

=1，
化为一般式可得3x+4y-12=0或3x+y-6=0；
故同时满足（1）（2）的直线方程为：3x+4y-12=0

点评：本题考查直线的一般式方程和三角形的面积和周长，涉及方程组的求解，属基础题．