Question

已知函数f（x）=

1+x2

1-x2

（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）求证：当x≠0时，f（

1

x

）=-f（x）．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义证明即可．（2）求出f（

1

x

）的表达式，判断两个表达式的关系即可．

解答：解：（1）要使函数有意义，则1-x²≠0，即x≠±1，定义域关于原点对称．
又f(-x)=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f(x)，所以函数f（x）为偶函数．
（2）当x≠0时，f(

1

x

)=

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

x2-1

=-

1+x2

1-x2

=-f(x)成立．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数的奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，注意先判断函数的定义域是否关于原点对称．