Question

给出以下命题：
（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函数f(x)=

sinx

x

在区间(0，

π

2

)上是单调减函数；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件．
其中是真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

当x=

π

4

时，sinx+cosx=

2

＞1，故（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1正确；
∵f(x)=

sinx

x

，∴f′(x)=

x•cosx-sinx

x2

=

x-tanx

cosx•x2

，
当x∈(0，

π

2

)时，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x²＞0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在区间(0，

π

2

)上单调递减，故（2）正确．
当“x＞1”时是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”时，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
在△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R为三角形外接圆半径）?“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故（4）错误
故选C