Question

设函数f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+2y+1=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函数g(x)=

ex

f(x)

，讨论g（x）的单调性．

Answer 1

（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+k（k＞0），故f'（x）=2ax+b又f（x）在x=0处取得极限值，故f'（x）=0，从而b=0由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x-2y+1=0相互垂直可知
该切线斜率为2，
即f'（1）=2，有2a=2，从而a=1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
g(x)=

ex

x2+k

(k＞0)、g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

(k＞0)
令g'（x）=0，有x²-2x+k=0（8分）
（1）当△=4-4k＜0，即当k＞1时，g'（x）＞0在R上恒成立，故函数g（x）在R上为增函数（10分）
（2）当△=4-4k=0，即当k=1时，g′(x)=

ex(x-1)2

(x2+k)2

＞0(x≠1)，K=1时，g（x）在R上为增函数（12分）
（3）△=4-4k＞0，即当0＜k＜1时，方程x²-2x+k=0有两个不相等实根x1=1-

1-k

，x2=1+

1-k

当x∈(-∞，1-

1-k

)是g'（x）＞0，故g（x）在(-∞，1-

1-k

)上为增函数
当x∈(1-

1-k

，1+

1-k

)时，g'（x）＜0，故g（x）在(1-

1-k

，1+

1-k

)上为减函数
当x∈(1+

1-k

，+∞)时，g'（x）＞0，故g（x）在(1+

1-k

，+∞)上为增函数（14分）