Question

（本小题满分12分）

如图，ABCD是边长为的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，，G是EF的中点，   （Ⅰ）求证平面⊥平面；

   （Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.

   （Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小.

Answer 1

（Ⅱ）   （Ⅲ）

解析:

解法一：（几何法）

（Ⅰ）证明：正方形ABCD  

∵二面角CABF是直二面角，CB⊥AB，∴CB⊥面ABEF  

∵AG，GB面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG            

又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，

∴AG=BG=，AB=2a， AB²=AG²+BG²，  ∴AG⊥BG   

∵CG∩BG=B  ∴AG⊥平面CBG 

而AG面AGC，  故平面AGC⊥平面BGC             

（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，

在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，   

∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角                     

∴在Rt△CBG中

又BG=，∴  　

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC 作BO⊥AC，垂足为O，连结HO，则HO⊥AC，

∴为二面角B—AC—G的平面角  在

在Rt△BOH中，

即二面角B—AC—G的大小为      

解法二：（向量法）

    解析：如图，以A为原点建立直角坐标系，

则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a ），G（a，a，0），F（a，0，0）．

（I）证明：，，，

∴，

 

∴AG⊥BG，AG⊥BC，而BG与BC是平面BCG内两相交直线，

∴AG⊥平面BCG，又AG平面ACG，故平面ACG⊥平面BCG  

（II）由题意可得，，

，，

设平面AGC的法向量为，

由    

 

（III）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，∴　二面角B—AC—G的大小为．