Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求导得到f′（）=0得，求a；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A，比较f′（x）=0的两根的大小，确定函数的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，转化为求函数函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．
解答：解：（Ⅰ）
因为是函数f（x）的一个极值点，所以，得a²-a-2=0．
因为a＞0，所以a=2．
（Ⅱ）因为f（x）的定义域是，
．
（1）当时，列表
f（x）在，是增函数；
f（x）在是减函数．
（2）当时，34．gif，f（x）在是增函数．
（3）当时，列表
f（x）在，（0，+∞）是增函数；
f（x）在是减函数．
（Ⅲ）当时，，
由（Ⅱ）可知f（x）在上是增函数．
当时，也有f（x）在上是增函数，
所以对于对于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值为f（1）=ln（a+1）+1-a，
要使不等式f（x）≤m在上恒成立，
须ln（a+1）+1-a≤m，
记g（a）=ln（a+1）+1-a，因为，
所以g（a）在[1，2]上递减，g（a）的最大值为g（1）=ln2，所以m≥ln2．
故m的取值范围为[ln2，+∞）．
点评：考查x=x是极值点是f′（x）=0的充分非必要条件，考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，属难题．