Question

已知曲线C：y=x³-3x²+2x
（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．
（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．

Answer 1

分析：（1）求出曲线解析式的导函数，发现为一个二次函数，配方后当x=1时，即可求出二次函数的最小值，即导函数的最小值，即为切线方程斜率的最小值，然后把x=1代入曲线方程求出对应的y值，确定出确定的坐标，由切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（2）设出切点的坐标，代入曲线方程得到一个等式，代入导函数中得到切线方程的斜率，由设出的一点和表示出的斜率表示出切线方程，把原点坐标代入切线方程，即可求出切点的横坐标，把求出的切点横坐标代入化简得到的等式即可求出切点的纵坐标，从而确定出切点坐标，把求出的切点横坐标代入导函数中即可求出相应的切线方程的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程即可．

解答：解：（1）y'=3x²-6x+2=3（x-1）²-1，
所以，x=1时，y'有最小值-1，（3分）
把x=1代入曲线方程得：y=0，所以切点坐标为（1，0），
故所求切线的斜率为-1，其方程为：y=-x+1．            
（2）设切点坐标为M（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
切线的斜率为3x₀²-6x₀+2，
故切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），（9分）
因为切线过原点，所以有-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（-x₀），
即：x₀³-3x₀²+2x₀=x₀（3x₀²-6x₀+2），
解之得：x₀=0或x0=

3

2

．                                  
所以，切点坐标为M（0，0）或M(

3

2

，-

3

8

)，
相应的切线方程为：y=2x或y+

3

8

=-

1

4

(x-

3

2

)
即切线方程为：2x-y=0或x+4y=0．

点评：此题考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，导数的几何意义，要求学生掌握求导法则，直线与曲线相切的性质，及待定系数法的灵活运用．