Question

已知函数f(x)=

-x2+2x (x＞0) 0，(x=0) x2+mx    (x＜0)

为奇函数；
（1）求f（-1）以及m的值；
（2）在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若函数g（x）=f（x）-2k+1有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是奇函数及f（-1）与f（1）的关系可求f（-1），根据f（x）解析式表示出f（-1）得一关于m的方程可求m值；
（2）由（1）可知f（x）的解析式，根据解析式即可画出其图象；
（3）数形结合，转化为两函数y=f（x）与y=2k-1图象的交点个数问题即可解决．

解答：（1）∵f（x）为奇函数，且f（1）=-1²+2×1=1，∴f（-1）=-f（1）=-1．
而f（-1）=（-1）²+m（-1）=1-m=-1，所以m=2．
故f（-1）=-1，m=2．
（2）由（1）知函数f（x）=

-x2+2x，(x＞0) 0，(x=0) x2+2x，(x＜0)

，则y=f（x）的图象如右图所示：
（3）若函数g（x）=f（x）-2k+1有三个零点，即函数y=f（x）与函数y=2k-1的图象有三个交点，
   由图象知：-1＜2k-1＜1，解得0＜k＜1．
故实数k的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、函数作图及函数零点问题，有一定综合性．本题三问环环相扣，由浅入深，解决本题关键是掌握有关基本概念、基本方法及转化、数形结合思想．