Question

若a³+b³=2,求证：a+b≤2.

Answer 1

证法一:假设a+b＞2,则?

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)＞2(a²-ab+b²)，而a³+b³=2,故a²-ab+b²＜1，?

∴1+ab＞a²+b²≥2ab,?

从而ab＜1.?

∴a²+b²＜1+ab＜2.?

∴(a+b)²=a²+b²+2ab＜2+2ab＜4.?

∴a+b＜2.?

这与假设矛盾，故a+b≤2.

证法二:假设a+b＞2,则a＞2-b,故?

2=a³+b³＞(2-b)³+b³,?

即2＞8-12b+6b²,即(b-1)²＜0,?

这不可能，从而a+b≤2.

证法三:

假设a+b＞2,则?

（a+b）³=a³+b³+3ab(a+b)＞8.?

由a³+b³=2,得?

3ab(a+b)＞6,故

ab(a+b)＞2.?

又a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=2,?

∴ab(a+b)＞(a+b)(a²-ab+b²).?

∴a²-ab+b²＜ab,?

即（a-b）²＜0.这不可能，故a+b≤2.

点评:本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾；一般说，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定过头时，都可以考虑用反证法.