Question

（本小题满分14分）已知且，设函数= ax² +x-3alnx．

（I）求函数的单调区间；

（II）当a=-1时，证明：≤2x-2．

 

Answer 1

【答案】

（I）的单调递增区间为（0，）、递减区间为（，）；   （II）见解析。

【解析】

试题分析：(I)先求出,然后再根据导数大于（小于）零，分别求出其单调增（减）区间.

（II）当a=-1时，,然后构造函数再利用导数求g(x)的最大值，证明其最大值不大于零即可.

（I）  …………………………1分

令解得…………………3分

列表如下：

x	（0，）		（，）
	+		-

…………………6分

故的单调递增区间为（0，）、递减区间为（，）…………………7分

   （II），a=-1时，

设………………………………9分

则……………………10分

……………………12分

而  ……………………14分

考点：导数在研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式中的应用.

点评：利用导数求单调区间时：如果含有参数，要注意分类讨论，并且要注意函数的定义域.

证明不等式的问题可以通过构造函数，通过导数研究函数的最值证明不等式是常用的策略之一.