Question

已知圆A:x²+y²+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l:y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程.

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)考虑到圆B的圆心在直线l上移动，可写出动圆B的方程，再设法建立起圆B的半径r的目标函数. 设圆的半径为r. ∵圆B的圆心在直线l:y=2x上， ∴圆B的圆心可设为(t,2t),则圆B的方程是 (x-t)2+(y-2t)2=r2, 即 x2+y2-2tx-4ty+5t2-r2=0. ① ∵圆A的方程是 x2+y2+2x+2y-2=0, ② ∴②-①，得两圆的公共弦方程 (2+2t)x+(2+4t)y-5t2+r2-2=0. ③ ∵圆B平分圆A的周长， ∴圆A的圆心(-1，-1)必须在公共弦上，于是，将x=-1,y=-1代入方程③,并整理得 r2=5t2+6t+6(目标函数) ∴当t=时,rmin= 此时,圆B的方程是.