Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-]上是增函数；     ④f（x）的图象关于直线x=对称；
⑤当x∈[-时，f（x）的值域为[-]．
其中正确的命题为（ ）
A．①②④
B．③④⑤
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：根据题意把函数化简为f（x）=sin2x，①可以举例判断其实错误的．②根据周期公式可得函数周期为π．③求出函数的所以单调增区间即可得到③正确．④求出函数的所有对称轴可验证得④正确．⑤根据题意求出2x∈[]，所以sin2x∈[]，进而求出函数的值域，即可得到⑤错误．
解答：解：由题意可得：f（x）=cosxsinx=sin2x，
①f（）=-f（），但是不满足x₁=-x₂，所以①错误．
②根据周期公式可得：f（x）=sin2x的周期为π．所以②错误．
③f（x）=sin2x的单调增区间为[kπ-，kπ+]，（k∈Z），显然③正确．
④f（x）=sin2x的所有对称轴为x=，显然④正确．
⑤f（x）=sin2x，因为x∈∈[-]时，所以2x∈[]，所以sin2x∈[]，所以f（x）的值域为[]．所以⑤错误．
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式，以及三角函数的有关性质（单调性，周期性，奇偶性，对称性等）．