Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右准线分别为l₁，l₂，且分别交x轴于C，D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于

 

．

Answer 1

分析：根据题意知|AC|=|CF|=-c-(-

a2

c

) =

b2

c

，|BF|=

2 b2

c

•cot30°=

6 b2

c

．
∵|BD|=|DF|=c+

a2

c

，则

2(a2+c2) 2

c2

=

6(a2-c2) 2

c2

，整理得e⁴-4e²+1=0．由此可求出椭圆的离心率．

解答：解：由题意知|AC|=|CF|=-c-(-

a2

c

)=

b2

c

，
∴|AF|=

2 b2

c

，|BF|=

2 b2

c

•cot30°=

6 b2

c

．
∵|BD|=|DF|=c+

a2

c

，∴|BF|=

2

(c+

a2

c

)=

6 b2

c

，
∴

2(a2+c2)2

c2

=

6(a2-c2)2

c2

，整理得e⁴-4e²+1=0．
解得e2=2-

3

或e2=2+

3

（舍去），
∴e=

6 - 2

2

或e=

2 - 6

2

（舍去），
答案：

6 - 2

2

．

点评：结合图象求解，事半功倍．