Question

已知直线l₁：ax-by+k=0；l₂：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．
（1）求直线l₁和l₂交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．
（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）联立直线l₁和l₂的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0，-1＜a＜0，a=-1，a＜-1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．
（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与

a+1

a

的大小，求出|PA|的最小值．

解答：解：（1）由

ax-by+k=0 kx-y-1=0

消去k，得y²-ax²=1
①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为(0，±

1+ 1 a

)，离心率e=

1+ 1 a

；
②当-1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为(±

-1- 1 a

，0)，离心率e=

1+a

；
③当a=-1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；
④当a＜-1时，轨迹是椭圆，焦点为(0，±

1+ 1 a

)，离心率e=

1+ 1 a

（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y²-ax²=1的上半支．
∵|PA|²=x²+（y-b）²=

y2-1

a

+y2-2by+b2
=

a+1

a

(y-

ab

a+1

)2+

ab2-a-1

a(a+1)

①当b＞

a+1

a

时，|PA|的最小值为

ab2-a-1 a(a+1)

；
②当 b≤

a+1

a

时，|PA|的最小值为|1-b|

点评：本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．