Question

13、已知{a_n}是公差不为0的等差数列，{b_n} 是等比数列，其中a₁=2，b₁=1，a₂=b₂，2a₄=b₃，且存在常数α、β，使得a_n=log_αb_n+β对每一个正整数n都成立，则α^β=

4

．

Answer 1

分析：首先利用等差数列和等比数列的性质以及已知条件求出q=2+d，进而根据2a₄=b₃，求出d、和q的值，即可求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，再根据a_n=log_αb_n+β得出2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β，令n=1求出β=2，令n=2求出α=2，即可求出结果．

解答：解：a₂=a₁+d=2+d b₂=1×q=q
∵a₂=b₂
∴q=2+d a₄=a₁+3d=2+3d b₃=1×q²=q²
∵2a₄=b₃∴2×（2+3d）=q²=（2+d）² 即 d²-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
a_n=a₁+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
b_n=a₁q^n-1=4^n-1∵a_n=log_αb_n+β
∴2n=log_α4^n-1+β=（n-1）log_α4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴α^β=2²=4

点评：本题考查了对数的运算性质、等差数列和等比数列的性质，根据条件求出d、和q的值，是解题的关键，属于中档题．