Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.

   （I）求抛物线方程；

   （II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；

   （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

Answer 1

（1）（2）线段PM的中点在y轴上（3）

解析:

（I）由题意可设抛物线的方程为,

         ∵过点的切线方程为,

         ……………………………………………………………2分

        

         ∴抛物线的方程为…………………………………………………3分

   （II）直线PA的方程为,

           

          

           同理,可得. …………………………………………………………5分

           …………………………6分

           又

          

         ∴线段PM的中点在y轴上.………………………………………………………7分

   （III）由

        

         ………………………………………8分

         ∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,

        

          即

        

         …………………………………………………………10分

         又∵点A的纵坐标    ∴当时，；

         当

         ∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为……………12分