Question

（2006•静安区二模）已知动圆过定点F(

1

2

，0)，且与定直线l：x=-

1

2

相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点O为坐标原点，P、Q两点在动点M的轨迹上，且满足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面积；
（3）设过点F(

1

2

，0)的直线l与动点M的轨迹交于R、S相异两点，试求△ROS面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），依题意，点M到直线l：x=-

1

2

的距离等于点M到点F的距离，从而可求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）解法1：由抛物线的对称性可知，直线OP的方程为：y=x，与抛物线方程联立，可求得P、Q的坐标，从而可求等腰直角三角形POQ的面积；
解法2：OP⊥OQ，可设直线OP的方程为y=kx，于是有直线OQ的方程为y=-

1

k

x，与抛物线方程联立，可求得P、Q的坐标分别为（

2

k2

，

2

k

），（2k²，2k³），由OP=OQ可求得k=±1，从而可求S_△POQ；
（3）设三角形面积为W，分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，可分别求得W的解析式，利用函数的性质即可求得△ROS面积的取值范围．

解答：解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），因为动圆过定点F（

1

2

，0），且与定直线l：x=-

1

2

相切，
所以M到直线l：x=-

1

2

的距离等于M到F的距离，
于是有(x+

1

2

)2=(x-

1

2

)2+y²…（2分）
化简得y²=2x，即动圆圆心M的轨迹方程为y²=2x…（4分）
（2）解法1：由抛物线的对称性可知，直线OP的方程为：y=x，…（6分）
可解得点P、Q的坐标分别为（2，2），（2，-2）…（8分）
所以，S_△POQ=

1

2

|OP|²=4…（10分）
解法2：因为OP⊥OQ，设直线OP的方程为：y=kx，
则直线OQ的方程为：y=-

1

k

x，…（6分）
解得点P、Q的坐标分别为（

2

k2

，

2

k

），（2k²，2k³），
由OP=OQ，得

4

k2

+

4

k4

=4k⁴+4k⁶，k⁸=1，可得点P、Q坐标分别为（2，2），（2，-2）…（8分）
所以，S_△POQ=

1

2

|OP|²=4…（10分）
（3）设三角形面积为W，斜率不存在时，W=

1

2

，…（11分）
斜率存在时，显然k≠0，设直线方程为y=k（x-

1

2

），设点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则W=

1

2

|OF|•|y₁-y₂|=

1

4

(y1+y2)2-4y1y2

，…（13分）
由方程组

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

得ky²-2y-k=0，所以

y1+y2= 2 k y1y2=-1

…（16分）
W=

1

4

4 k2 +4

=

1

2

1+ 1 k2

，该函数的值域为[

1

2

，+∞），所以三角形面积W的取值范围是[

1

2

，+∞），…（18分）（注：端点

1

2

没取的总共扣1分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，突出考查动点的轨迹问题，考查方程思想与韦达定理的综合应用，考查抽象思维与综合运算能力，属于难题．