Question

已知函数f(x)=loga

1-x

1+x

(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数；
（3）如果当x∈（t，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值．

Answer 1

（1）要使原函数有意义，则

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域D=（-1，1）．
函数f（x）在定义域内为奇函数．
证明：对任意x∈D，f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=loga

1-x1

1+x1

-loga

1-x2

1+x2

=loga(

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

)=loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

．
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）-[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=2（x₂-x₁）＞0．
∴1-x₁x₂+（x₂-x₁）＞[1-x₁x₂-（x₂-x₁）]=（1-x₁）（1-x₂）＞0．
∴

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＞1．
∵0＜a＜1，
∴loga

1-x1x2+(x2-x1)

1-x1x2-(x2-x1)

＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在D上是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），
所以（t，a）⊆（-1，1）且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由

1-a

1+a

=a，得：a²+a=1-a，解得：a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．
所以a=

2

-1，t=-1．