Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在条件（2）下，设，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：．

Answer 1

解：（1）∵（a为常数，且a≠0，a≠1），
∴当n≥2时，，
化简得（a≠0），
又∵当n=1时，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比数列．
∴数列的通项公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，，
因{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃
∵，
∴，
解得，再将代入得b_n=3ⁿ成立，
∴．
（3）证明：由（2）知，
∴
=，
∵
∴，
∴
∴数列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
+
=
分析：（1）利用通项公式和前n项和公式关系式，得到a_n与a_n-1的关系．
（2）把s_n代入b_n并化简，已知数列为等比数列，取一些具体简单项，再利用等比中项求出a的值．
（3）把前两小题的结果代入c_n并化简，由式子的特点利用放缩法证明．即两项相减时前一项放小后一项放大，前后两项恰好消去，然后再放缩．
点评：本题考查的知识全面，涉及到通项公式和前n项和的关系及等比数列的定义，计算量也很大，最后证明用放缩法，需要认真观察式子的特点，恰到好处的放缩才能证明出来．做好本题需要强的计算能力和严密的逻辑思维能力．