Question

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），当x₁≠x₂时有

f(x1)+2x1-[f(x2)+2x2]

x1-x2

＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后求出f′（1），同时求出f（1），由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，进一步求出导函数的零点

1

2

，

1

a

，分

1

a

≤1，1＜

1

a

＜e及

1

a

≥e三种情况讨论原函数的单调性，由f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2求解a的取值范围；
（Ⅲ）构造辅助函数g（x）=f（x）+2x，问题转化为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求解a的范围．把函数g（x）求导后分a=0和a≠0讨论，a≠0时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=2x-3+

1

x

．
∵f′（1）=0，f（1）=2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-2；
（Ⅱ）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

，（x＞0）．
令f′（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0．
∴x=

1

2

或x=

1

a

．
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合题意；
当

1

a

≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．
综上，a≥1；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，
由题意可知只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

．
当a=0时，g′(x)=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增； 
当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，则需要a＞0，
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，
只需△=a²-8a≤0，
即0＜a≤8．
综上0＜a≤8．

点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．考查了数学转化思想方法及分类讨论的数学数学思想方法，是难题．