Question

已知：函数f(x)=Asin(ωx+α)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜α＜

π

2

)的最小正周期是π，且当x=

π

6

时f（x）取得最大值3．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间．
（2）若x₀∈[0，2π），且f(x0)=

3

2

，求x₀．
（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用函数的周期，最值，求出A，T然后求出ω，通过当x=

π

6

时f（x）取得最大值3求出α，从而求f（x）的解析式及单调增区间．
（2）若x₀∈[0，2π），且f(x0)=

3

2

，求出x₀即可．
（3）利用函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求出g（x），然后再求m的最小值．

解答：解：（1）由已知条件知道：A=3，

2π

ω

=π（1分）
∴ω=2（2分）∴f(

π

6

)=3sin(2•

π

6

+α)=3
∴2•

π

6

+α=2kπ+

π

2

(k∈Z)又-

π

2

＜α＜

π

2

∴α=

π

6

（3分）
∴f(x)=3sin(2x+

π

6

)（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)
∴f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)（6分）
（2）f(x0)=3sin(2x0+

π

6

)=

3

2

，sin(2x0+

π

6

)=

1

2

∴2x0+

π

6

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5

6

π(k∈Z)
∴x₀=kπ或kπ+

π

3

(k∈Z)（9分）
又x₀∈[0，2π）∴x0=0，π，

π

3

或

4

3

π（11分）
（3）由条件可得：g(x)=3sin(2(x-m)+

π

6

)=3sin(2x-2m+

π

6

)（13分）
又g（x）是偶函数，所以g（x）的图象关于y轴对称，
∴x=0时，g（x）取最大或最小值（14分）
即3sin(-2m+

π

6

)=±3，
∴-2m+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)m=-

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)（15分）
又m＞0∴m的最小值是

π

3

（16分）

点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，化为一个角的一个三角函数的形式是求最值的常用方法．能够正确取得函数在给定区间上的最值，是顺利解题的前提．