Question

17．在中俄两国联合军事反恐演习中，为了准确分析形势，军方在底面上选择相距$\sqrt{3}$km的C，D两点，以测出对方两目标A和B的距离，经测量的：∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，试求出A，B之间的距离．

Answer 1

分析 利用△ACD的边角关系得出AC，在△BCD中，由正弦定理即可得出BC，在△ACB中利用余弦定理即可得出AB．

解答 解：在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°．
∴AC=CD=$\sqrt{3}$．
 在△BDC中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°．
由正弦定理，得BC=$\frac{\sqrt{3}sin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
由余弦定理，得AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠BCA
=（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$×cos75°=5．
∴AB=$\sqrt{5}$．
∴两目标A、B之间的距离为$\sqrt{5}$km．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的综合运用．熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键．