Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1-a_n，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}满足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1，分别代入，即可求得a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明；
（Ⅲ）已知数列{b_n}满足：a_nb_n=1-a_n，可求数列{b_n}的通项，从而可求前n项和，进一步可以证明S₁+S₂+…+S_n-1=n（S_n-1）

解答：（Ⅰ）解：∵数列{a_n}满足：a1=

1

2

，2a_n+1=a_na_n+1+1
∴n=1时，2a₂=a₁a₂+1，∴a2=

2

3

n=2时，2a₃=a₂a₃+1，∴a3=

3

4

n=3时，2a₄=a₃a₄+1，∴a4=

4

5

；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式an=

n

n+1

，
证明：①当n=1，2，3，4时，由（Ⅰ）知结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即ak=

k

k+1

，
则n=k+1时，∵2a_n+1=a_na_n+1+1
∴ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

(k+1)+1

即n=k+1时，结论成立
由①②可知an=

n

n+1

；
（Ⅲ）解：由a_nb_n=1-a_n，可得bn=

1

n

∴S₁+S₂+…+S_n-1═（n-1）+

n-2

2

+

n-3

3

+…+

1

n-1

=n+

n

2

+

n

3

+…+

n

n-1

-1×（n-1）=n（1+

1

2

+…+

1

n

-1）=n（S_n-1）

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查等式的证明，解题的关键是由递推式得出数列的通项．