Question

（2013•临沂三模）已知f(x)=-cos2

ω

2

x+

3

2

sinωx的图象上两相邻对称轴间的距离为

π

2

(ω＞0)．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=

1

2

，c=3，△ABC的面积是3

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角变换与辅助角公式将f（x）化为f（x）=sin（ωx-

π

6

）-

1

2

，由T=π可求得ω，从而可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，结合题意可求得A，利用三角形的面积公式由S_△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

及c=3可求得b，再由余弦定理即可求得a．

解答：解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）周期为π．
∵f（x）=-cos2

ω

2

x+

3

2

sinωx=-

1+cosωx

2

+

3

2

sinωx=

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-

1

2

=sin（ωx-

π

6

）-

1

2

，
∴ω=

2π

π

=2，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

得：2kπ+

2π

3

≤2x≤2kπ+

5π

3

，
∴kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）．
∴f（x）的单调减区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f（A）=

1

2

，得sin（2A-

π

6

）-

1

2

=

1

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1．
∵0＜A＜π，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，
∴2A-

π

6

=

π

2

，A=

π

3

．
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=3

3

，c=3，
得b=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA=16+9-2×4×3×

1

2

=13，
故a=

13

．

点评：本题考查三角变换与辅助角公式，考查正弦函数的单调性，考查三角形的面积公式及余弦定理，考查分析解决问题的能力，属于中档题．