Question

【题目】已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若对于任意的，都有成立，求正整数k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）最大值为2.

【解析】

(1)求导得,因为,故分三种情况进行分类讨论即可.
(2)带入化简可得,因为是关于的二次函数零点问题,故用判别式小于0恒成立,化简得,

再设分析单调性,由于零点无法求出,故判断零点的大致范围,设为再分析即可.

(1)

①恒成立，在R上单调递增.

②当令解得，

当，函数在上单调递增，

当，函数在上单调递减，

③当，解得

当，函数在上单调递增，

当，函数在上单调递减，

(2)对任意的成立，

即 成立，

即 恒成立

即 ，令，

令，在上单调递增，

又，，在上有唯一零点，且，当为减函数，

当为增函数，，

，，恒成立

是正整数，或，的最大值为2.