Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与相交于两点，求过两点且面积最小的圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）曲线的普通方程为， 的直角坐标方程为；（2）

【解析】试题分析：（1）利用消参和极坐标公式，化参数方程和极坐标方程为普通方程；（2）直线和椭圆相交，联立求中点即为圆心，弦长即为直径， 所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．

试题解析：（1）由消去参数，得，

即曲线的普通方程为，

由，得，即，即．

即曲线的直角坐标方程为；

（2）过两点且面积最小的圆是以线段为直径的圆，令．

由，得，

所以，所以圆心坐标为，

又因为半径，

所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．