Question

由原点O向三次曲线y=x³－3ax²＋b x (a≠0)引切线,切于不同于点O的点，再由P₁引此曲线的切线，切于不同于的点,如此继续地作下去，……,得到点列{ },试回答下列问题:

(1)求x₁;

(2)求x _n与x _n+1的关系;

(3)若a>0,求证:当n为正偶数时, x _n<a;当n为正奇数时, x _n>a.

Answer 1

答案：
解析：

；x n＋2xn+1－3a=0. (1)由y=x3－3ax2＋b x, ① 得y′=3x2－6ax＋b. 过曲线①上点P1(x1, y1)的切线l1的方程是 由它过原点,有 (2)过曲线①上点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线ln+1的方程是 由ln+1过曲线①上点P n(x n, yn),有 ∵x n－xn+1≠0,以x n－xn+1除上式,得 以x n－xn+1除之,得x n＋2xn+1－3a=0. (3)法1 由(2)得 故数列{x n－a}是以x 1－a=为首项,公比为－的等比数列, ∵a>0,∴当n为正偶数时, 当n为正奇数时, 解法2 = = =…… = = =.以下同解法1.