题目内容

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2．
（1）求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调增区间．
（3）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最大值，最小值．

解：（1）∵f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2
=1+sin2x+1+cos2x-2
=sin2x+cos2x
= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
由2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，得：x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈Z；
∴函数f（x）图象的对称轴方程为：x= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，k∈Z．
（2）∵f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∴由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）得：kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z．
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的单调增区间为：[kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]k∈Z．
（3） $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[-1，1]．
∴函数f（x）的最大值为：1，最小值为：-1．
分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用将f（x）化为f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）即可求f（x）函数图象的对称轴方程；
（2）利用正弦函数的性质可求得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的单调增区间；
（3）当x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，可求得2x+ $\text{[math]}$ 的范围，从而可求得函数f（x）的最大值，最小值．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查复合三角函数的单调性与最值，求得f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）是关键，属于中档题．