题目内容
（2013•资阳模拟）如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使扩建成的花坛面积大于27米2，则AN的长度应在什么范围内？
（Ⅱ）当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
分析：（Ⅰ）设AN=x（米），则x＞2．利用△DCN∽△AMN，可得
=
，得到AM=
．于是花坛AMPN的面积S=AM•AN=
（x＞2）．由S＞27，解得即可．
（II）变形利用基本不等式即可得出．
| DN |
| AN |
| DC |
| AM |
| 3x |
| x-2 |
| 3x2 |
| x-2 |
（II）变形利用基本不等式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）设AN=x（米），则x＞2．
∵△DCN∽△AMN，∴
=
，则
=
，AM=
．
∴花坛AMPN的面积S=AM•AN=
（x＞2）．
由S＞27，得
＞27，则x2-9x+18＞0，解得2＜x＜3或x＞6，
故AN的长度范围是2＜AN＜3或AN＞6（米）．
（Ⅱ）由S=
=
=3[(x-2)+
+4]≥24，
当且仅当x-2=
，即x=4（米）时，等号成立．
∴当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米2．
∵△DCN∽△AMN，∴
| DN |
| AN |
| DC |
| AM |
| x-2 |
| x |
| 3 |
| AM |
| 3x |
| x-2 |
∴花坛AMPN的面积S=AM•AN=
| 3x2 |
| x-2 |
由S＞27，得
| 3x2 |
| x-2 |
故AN的长度范围是2＜AN＜3或AN＞6（米）．
（Ⅱ）由S=
| 3x2 |
| x-2 |
| 3[(x-2)2+4(x-2)+4] |
| x-2 |
| 4 |
| x-2 |
当且仅当x-2=
| 4 |
| x-2 |
∴当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米2．
点评：本题考查了相似三角形的性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目