题目内容

设函数f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a为实数）
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）设 $数学公式$ ，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围．

解：（1）由已知，f（-x）=f（x）．…2分
即|x-a|=|x+a|，…3分
解得a=0…3分
（2）当x∈（0，a]时， $\text{[math]}$ ，…7分
设x₁，x₂∈（0，a]，且x₂＞x₁＞0，于是x₁x₂-a²＜0，x₁x₂＞0．
∵f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ -1-（ $\text{[math]}$ ）=（x₁-x₂）（1- $\text{[math]}$ ）＞0
∵x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂，所以x₁x₂＜a²，
所以a≥a²，因此实数a 的取值范围是（0，1]…12分
分析：（1）直接根据f（-x）=f（x）恒成立即可得到实数a的值；
（2）先求出函数g（x）的解析式，再结合单调性的定义即可求a的取值范围．
点评：本题主要考查函数奇偶性以及单调性的应用．解决这类问题须对函数奇偶性以及单调性的性质掌握熟练．

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