题目内容
（2012•虹口区一模）（1）求以x±2y=0为渐近线，且过点
的双曲线A的方程；
（2）求以双曲线A的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B的方程；
（3）椭圆B上有两点P，Q，O为坐标原点，若直线OP，OQ斜率之积为
，求证：|OP|2+|OQ|2为定值．
|
（2）求以双曲线A的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B的方程；
（3）椭圆B上有两点P，Q，O为坐标原点，若直线OP，OQ斜率之积为
| 1 |
| 5 |
分析：（1）利用待定系数法，设出双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线A的方程；
（2）确定椭圆的焦点与顶点坐标，即可求得椭圆B的方程；
（3）直线与椭圆方程联立，求得：|OP|2，|OQ|2的值，即可证得结论．
（2）确定椭圆的焦点与顶点坐标，即可求得椭圆B的方程；
（3）直线与椭圆方程联立，求得：|OP|2，|OQ|2的值，即可证得结论．
解答：（1）解：设双曲线方程为x2-4y2=λ（λ≠0）
将
代入，得λ=20，
∴双曲线A：
-
=1…（3分）
（2）解：双曲线A的顶点为
，焦点为
∴椭圆的顶点为
，焦点为
，
∴b2=5，
椭圆B：
+
=1…（6分）
（3）证明：设kOP=k，kOQ=
，由
，得x2=
，
∴|OP|2=
…（10分）
同理可得|OQ|2=
，
∴|OP|2+|OQ|2=
=30…（15分）
将
|
∴双曲线A：
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 5 |
（2）解：双曲线A的顶点为
|
|
∴椭圆的顶点为
|
|
∴b2=5，
椭圆B：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 5 |
（3）证明：设kOP=k，kOQ=
| 1 |
| 5k |
|
| 25 |
| 5k2+1 |
∴|OP|2=
| 25(k2+1) |
| 5k2+1 |
同理可得|OQ|2=
| 5(25k2+1) |
| 5k2+1 |
∴|OP|2+|OQ|2=
| 150k2+30 |
| 5k2+1 |
点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定运用双曲线、椭圆的性质是关键．
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