Question

数列{a_n}中，对任意自然数n，a1+a2+a3+…an=2n-1，则a12+a22+a32+…an2等于（　　）

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

  (2n-1)2
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：由a1+a2+a3+…an=2n-1，①得n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1②，两式相减可求得a_n，利用等比数列的定义可判断{a_n}为等比数列，进而可知{an2}也是等比数列，由等比数列的前n和项和公式可求得其前n项和．

解答：解：由a1+a2+a3+…an=2n-1，①得
n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=2^n-1-1②，
①-②，得an=2n-1（n≥2），
又n=1时，a₁=2¹-1=1，适合上式，
∴an=2n-1，
又

an+1

an

=

2n

2n-1

=2，
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则{an2}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴a12+a22+a32+…an2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故选D．

点评：本题考查等比数列的定义、前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题，熟记相关公式是解决问题的关键．