题目内容
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点.求证:A1O⊥平面GBD.
分析:要证线面垂直,只要证线线垂直,要证线线垂直,只要证向量的数量积为零,只要用基底表示向量,再求数量积.
证明:设
则a·b=0,b·c=0,a·c=0.
而
∴
=(c+
a+
b)·(b-a)
=c·(b-a)+
(a+b)·(b-a)
=c·b-c·a+
(b2-a2)
=
(｜b｜2-｜a｜2)=0,
=(c+
a+
b)(
a+
b-
c)
=
(a+b)2+
c·(a+b)-
c2
=
(a2+b2)-
c2
=
(｜a｜2+｜b｜2)-
｜c｜2=0.
∴A1O⊥BD,A1O⊥OG.
又∵BD∩OG=O,
∴A1O⊥平面GBD.
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