Question

【题目】己知椭圆上动点，点为原点.

（1）若，求证：为定值；

（2）点，若，求证：直线过定点；

（3）若，求证：直线为定圆的切线.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）设，可求得，进而由在椭圆上，代入椭圆方程并整理可得，进而由，整理可得为定值；

（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立并消去，得到关于的一元二次方程，由，且直线的斜率均存在，可得到，将其展开并结合韦达定理，可用表示，进而可知直线过定点；

（3）当斜率都存在时，设出两直线的方程，分别与椭圆方程联立，可得到、的表达式，进而可设到直线的距离为，则，整理可得，即到直线的距离为定值；当的斜率有一个不存在时，可求得直线的方程，进而可求出圆心到直线的距离也为相同定值.

证明：（1）由题意，设，

则，

由在椭圆上，则，

代入得，，

整理得，，

因为，所以，

则，

∴为定值；

（2）易知，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，消去得，，

则，，

由，且直线的斜率均存在，

，整理得，

因为，，

所以，，

整理得，，

所以，

整理得，，

即，所以，或，

因为，所以，所以直线恒过定点；

（3）当斜率都存在时，

设方程为，，

则方程为，

联立，可得，

所以，

同理可得，

设到直线的距离为，即为斜边上的高，

则，

故当斜率都存在时，到直线的距离为定值.

当的斜率有一个不存在时，此时直线为连接长轴和短轴端点的一条直线，方程为或，

点到直线的距离为.

综上，原点到直线的距离为定值，即直线为定圆的切线.