题目内容
已知函数f（x）=2cos2x+2
sinxcosx
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．
| 3 |
①求函数f（x）的最小正周期；
②在△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，若f（C）=2，a+b=4，求△ABC的最大面积．
分析：①利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数化简可得，f（x）=2sin（2x+
）+1，利用周期公式T=
可求
②由①知f(C)=2sin(2C+
)+1=2，即sin(2C+
)=
，又0＜C＜π 可求C=
π，代入三角形的面积公式S=
absinC=
ab≤
(
)2可求面积的最大值
| π |
| 6 |
| 2π |
| ω |
②由①知f(C)=2sin(2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| a+b |
| 2 |
解答：解：①由已知f（x）=2cos2x+2
sinxcosx
=cos2x+1+
sin2x
=2sin（2x+
）+1
∴T=
=π …（6分）
②由①知f(C)=2sin(2C+
)+1=2，即sin(2C+
)=
又0＜C＜π
∴
＜2C+
＜
∴2C+
=
∴C=
∴S=
absinC=
ab≤
(
)2=
当且仅当a=b时，Smax=
…（12分）
| 3 |
=cos2x+1+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
②由①知f(C)=2sin(2C+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
又0＜C＜π
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
∴2C+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴C=
| π |
| 3 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| a+b |
| 2 |
| 3 |
当且仅当a=b时，Smax=
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，由三角函数值求角，基本不等式在函数最值求解中的应用．
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