题目内容

过正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于 $数学公式$ ，则这样的直线l共可以作出

A.
1条
B.
2条
C.
3条
D.
4条

C
分析：根据题意，因为AD₁∥BC₁，所以直线AC和BC₁所成的角即为直线AC和AD₁所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于 $\text{[math]}$ ，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD₁所成的角都等于 $\text{[math]}$ ．可分在平面ACD₁内和在平面ACD₁外两种情况寻找．因为要与直线AC和AD₁所成的角都相等，故在平面ACD₁内可考虑角平分线；在平面ACD₁外可将角平分线绕点A旋转考虑．
解答：因为AD₁∥BC₁，所以直线AC和BC₁所成的角即为直线AC和AD₁所成的角，所以过A₁在空间作直线l，使l与直线AC和BC₁所成的角都等于 $\text{[math]}$ ，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD₁所成的角都等于 $\text{[math]}$ ．
因为∠ACD₁=60°，∠ACD₁的外角平分线与AC和AD₁所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD₁内有一条满足要求．
因为∠ACD₁的角平分线与AC和AD₁所成的角相等，均为30°，将角平分线绕点A向上转动到与面ACD₁垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和BC₁所成的角都等于 $\text{[math]}$ ，故符合条件的直线有3条．
故选C
点评：本题考查异面直线所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力．

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①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②当且仅当x=

时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C'-MENF的体积V=h（x）为常函数；
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①当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；
②当且仅当x=

时，四边形MENF的面积最小；
③四棱锥C′-MENF的体积V=h（x）为常函数；
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