Question

若关于x的不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（

1

b

，

1

a

），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x²-4

3

x•cos2θ+2＜0与不等式2x²-4x•sin2θ+1＜0为对偶不等式，且θ∈（

π

2

，π），则θ=

 

．

Answer 1

分析：由题意若不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0的解集为（a，b） 则不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

a

，

1

b

）；由一元二次方程与不等式的关系可知，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b =2sin2θ

，整理，结合三角函数的辅助角公式可求θ

解答：解：设不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0的解集为（a，b），由题意可得不等式2x²-4xsin2θ+1＜0的解集（

1

a

，

1

b

）
由一元二次方程与不等式的关系可知，

ab=2 a+b=4 3 cos2θ 1 a + 1 b =2sin2θ

整理可得，

3

cos2θ=sin2θ
∴sin(2θ-

π

3

)=0，且θ∈（

π

2

，π），
∴θ=

2π

3

故答案为：

2π

3

点评：本题以新定义为载体，考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系，方程的根与系数的关系，考查了辅助角公式的应用．是一道综合性比较好的试题．