题目内容
莆田十中高三（1）研究性学习小组对函数f(x)=
的性质进行了探究，小组长收集到了以下命题：
下列说法中正确命题的序号是______．（填出所有正确命题的序号）
①f（x）是偶函数； ②f（x）是周期函数；
③f（x）在区间（0，π）上的单调递减； ④f（x）没有值最大值．
| sinx |
| x |
下列说法中正确命题的序号是______．（填出所有正确命题的序号）
①f（x）是偶函数； ②f（x）是周期函数；
③f（x）在区间（0，π）上的单调递减； ④f（x）没有值最大值．
因为函数f(x)=
，
∴f（-x）=
=
=
=f（x）．即f（x）是偶函数；①成立．
又f′（x）=
，
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在区间（0，π）上的单调递减； 即③成立．
又∵y=sinx是周期为2π的函数，函数值每过2π重复出现，但y=x是一单调递增函数，
所以：f（x）不是周期函数；且f（x）没有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案为：①③④．
| sinx |
| x |
∴f（-x）=
| sin(-x) |
| -x |
| -sinx |
| -x |
| sinx |
| x |
又f′（x）=
| xcosx+sinx |
| x2 |
令g（x）=xcosx+sinx，得g′（x）=-xsinx，在（0，π）上，g′（x）＜0恒成立，故g（x）max＜g（0）=0．
∴f′（x）＜0恒成立．
∴f（x）在区间（0，π）上的单调递减； 即③成立．
又∵y=sinx是周期为2π的函数，函数值每过2π重复出现，但y=x是一单调递增函数，
所以：f（x）不是周期函数；且f（x）没有值最大值，即②不成立，④成立．
故答案为：①③④．
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是偶函数； ②
）上的单调递减； ④
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