Question

已知圆x²+y²-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.

(1)求证:不论k取什么值,直线和圆总有两个不同的公共点;

(2)求当k取何值时,直线被圆截得的弦最短,并求这最短弦的长.

Answer 1

(1)证明：已知圆的方程为(x-3)²+(y-4)²=4,其圆心(3,4)到直线kx-y-4k+3=0的距离为||=.

    要证明直线和圆总有两个不同的公共点,只要证＜2,即证(k+1)²＜4(1+k²),

    即证3k²-2k+3＞0.

    而3k²-2k+3=3(k-)²+＞0成立.

(2)解：由于当圆心到直线的距离最大时,直线被圆截得的弦最短,

    而d=

    =

    =≤

    =.

    当且仅当k=1时,“=”成立，即k=1时,d_max=.

    故当k=1时,直线被圆截得的弦最短,该最短弦的长为2=2.