Question

已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数y=f（2x+

π

4

）的图象关于直线x=

π

6

对称．
（1）求φ的值；
（2）若f（a-

2π

3

）=

2

4

，求sin2a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），…（2分）
∴函数f（x）的最小正周期为2π．…（3分）
∵函数y=f（2x+

π

4

）=sin[（2x+

π

4

）+φ]=sin（2x+

π

4

+φ），
且函数y=sin（2x+

π

4

+φ）图象关于直线x=

π

6

对称，…（5分）
∴x=

π

6

满足2x+

π

4

+φ=

π

2

+kπ，k∈Z
代入得

π

3

+

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，
结合0＜φ＜π取k=1，得φ=

11π

12

…（7分）
（2）∵f（a-

2π

3

）=sin（a-

2π

3

+

11π

12

）=sin（a+

π

4

），…（9分）
∴sin（a+

π

4

）=

2

2

（sina+cosa）=

2

4

，可得sina+cosa=

1

2

，…（11分）
两边平方，得（sina+cosa）²=

1

4

，即sin²a+2sinacosa+cos²a=

1

4

∵sin2a=2sinacosa
∴1+sin2a=

1

4

，解之可得sin2a=-

3

4

…（14分）