Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(

3

，0)，且离心率e=

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+m与该椭圆有两个交点M，N，当线段MN的中点在直线x=1上时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据焦距，求得a和b的关系，利用离心率求得a和b的另一公式联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根据MN的中点的横坐标求得k和m的关系，进而回代入判别式大于0，求得k的范围，则直线的倾斜角的范围可得．

解答：解：（1）依题意：

3

a2

=1∴a=

3

．（1分）
由e=

c

a

=

6

3

，得c=

2

．（2分）
∴b²=a²-c²=1．（3分）
∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．（4分）
（2）设M，N坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
将y=kx+m代入椭圆方程，整理得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0（6分）
∴△=36k²m²-12（3k²+1）（m²-1）＞0（*）（8分）x1+x2=-

6km

3k2+1

要令P（1，n）为M，N中点，则x₁+x₂=2，∴-

6km

3k2+1

=2∵k≠0∴m=-

3k2+1

3k

（9分）
代入（*）得：36k2•

(3k2+1)

9k2

2-12(3k2+1)[

(3k2+1)

9k2

2-1]＞0（10分）(3k2+1)-3•

(3k2+1)2-9k2

9k2

＞0(3k2+1)-

9k4-3k2+1

3k2

＞0

9k4+3k2

3k2

-

9k4-3k2+1

3k2

＞0
6k²-1＞0（12分）
∴k＞

6

6

或k＜-

6

6

．（13分）
∴k的取值范围是(-∞， -

6

6

)∪(

6

6

， +∞)．（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．