题目内容
已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n≥2),且a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3.
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{
}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
解:（1）由an=2an-1+2n-1(n≥2)a4=2a3+24-1=81
a3=33.
同理可得a2=13,a1=5.
（2）假设存在实数λ符合题意，则
-
1必为与n无关的常数.
∵
,
要使
是与n无关的常数，则
=0，得λ=-1.
故存在实数λ=-1,使得数列{
}为等差数列.
（3）由（2）知数列{
}的公差d=1.
∴
+(n-1)·1=n+1,
得an=(n+1)·2n+1.
∵a1=2·21+1,a2=3·22+1，a3=4·23+1,…，an=(n+1)·2n+1,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=n+2·2+3·22+4·23+…+（n+1）·2n.
记Tn=2·2+3·22+4·23+…+（n+1）·2n,
有2Tn=2·22+3·23+4·24+…+n·2n+(n+1)·2n+1.
相减，得Tn=n·2n+1.
故Sn=n·2n+1+n=n(2n+1+1).
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