Question

设P_n=(1+x)ⁿ,Q_n=1+nx+x²,n∈N₊,x∈(-1,+∞),试比较P_n与Q_n的大小，并加以证明.

Answer 1

思路分析：这类问题，一般都是将P_n、Q_n退至具体的P_n、Q_n开始观察，以寻求规律，作出猜想，再证明猜想的正确性.

P₁=1+x=Q₁,P₂=1+2x+x²=Q₂,

P₃=1+3x+3x²+x³,Q₃=1+3x+3x²,

P₃-Q₃=x³,

由此推测,P_n与Q_n的大小要由x的符号来决定.

解：(1)当n=1,2时，P_n=Q_n.

(2)当n≥3时，（以下再对x进行分类）.

①若x∈(0,+∞)，显然有P_n＞Q_n;

②若x=0，则P_n=Q_n;

③若x∈(-1,0),

则P₃-Q₃=x³＜0,所以P₃＜Q₃;

P₄-Q₄=4x³+x⁴=x³(4+x)＜0,所以P₄＜Q₄;

假设P_k＜Q_k(k≥3),

则P_k+1=(1+x)P_k＜(1+x)Q_k=Q_k+xQ_k(运用归纳假设)

=1++x+kx²+

=1+(k+1)x+x²+x³

=Q_k+1+x³＜Q_k+1，

即当n=k+1时，不等式成立.

所以当n≥3,且x∈(-1,0)时，P_n＜Q_n.