Question

9．直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=AP=1，BC=2，平面ABP垂直于底面ABCD．
（1）求证：平面PAB垂直于平面PBC；
（2）若∠PAB=120°，求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）作PO⊥平面ABCD，由面面垂直的性质得CB⊥PO，由直角性质得CB⊥AB，由此能证明平面PAB⊥平面PBC．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵平面ABP垂直于底面ABCD，
∴作PO⊥平面ABCD，交AB（或AB延长线）于点O，连结CO，
∵CB?平面ABCD，∴CB⊥PO，
∵直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，∴CB⊥AB，
∵PO∩AB=O，∴BC⊥平面PAB，
∵BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．
（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），P（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{3}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{3}{2}$，2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（$\frac{1}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}x+y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\sqrt{3}$），
设平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\frac{1}{2}a+b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\frac{3}{2}a+2b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，-3，-$\sqrt{3}$），
设二面角B-PD-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{3-3-3}{\sqrt{5}•\sqrt{21}}$|=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角B-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．