Question

过双曲线C：（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线C的离心率是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

D
分析：求双曲线C的一条渐近线与过焦点F的与之垂直的直线的交点，该交点在线段OF的垂直平分线上，可求得双曲线C的离心率．
解答：∵-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，
∵过其焦点F（c，0）的直线l与y=x垂直，
∴l的方程为：y=-（x-c），
∴由得垂足的横坐标x===，
∵垂足恰好在线段OF的垂直平分线x=上，
∴=，
∴=2，
∴双曲线C的离心率e=．
故选D．
点评：考查双曲线的简单性质，求得一条渐近线与过焦点F的与之垂直的直线的交点是关键，考查解方程组的能力，属于中档题．