Question

定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得 f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ一和谐函数”． 有下列关于“λ-和谐函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-和谐函数”；
②f（x）=x不是一个“λ-和谐函数”；
③f（x）=x²是一个“λ-和谐函数”；
④“

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-和谐函数”至少有一个零点．
则正确结论的序号为

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析：①、设f（x）=C则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，可判断①；
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0，则有λ+1=λ=0，解方程可判断②；
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，则有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判断③；
④、令x=0，可得f（ 

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）=-

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f（0）．若f（0）=0，f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（ 

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）•f（0）=-

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（f（0））2＜0．可得f（x）在（0，

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）上必有实根，可判断④正确．

解答：解：①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
③、假设f（x）=x²是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
④、令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0．所以f（

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）=-

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f（0）．
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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（f（0））²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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）上必有实数根．
因此任意的“

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-同伴函数”必有根，即任意“

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2

-同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
故答案为：②④．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ-同伴函数的定义，是解答本题的关键．